[A.N.C.] 3.1 Nonlinear Systems and Equilibrium Points

Ch.3 Fundamentals of Lyapunov Theory

3.1 Nonlinear Systems and Equilibrium Points

제일 처음 선형과 비선형에 대한 이야기로 시작하겠다.

 

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Nonlinear Systems

 

Linear System

$$ \dot{\mathbf{X}}=\mathbf{A}(t)\mathbf{X} $$
where $\mathbf{A}(t)$ is an $n \times n$ matrix.

 

Nonlinear Systems

$$\begin{align} &\dot{\mathbf{X}}=f(\mathbf{X},\mathbf{u},t)\\&\dot{\mathbf{X}}=f(\mathbf{X},t)\\&\dot{\mathbf{X}}=f(\mathbf{X}) \end{align} $$
where $\mathbf{X}$ is the $n \times 1$ state vector.

 

라고 표현할 수 있다고 한다.

앞서 표시된 것 처럼 벡터의 형태로 표시된다.

선형과 비선형의 큰 자이는 시스템에 '비선형적인 요소가 존재하느냐' 이다. (아래 Pendulum에서 자세히 설명하겠다.)

또한, 비선형 시스템에서 다양하게 표시될 수 있지만 이는 입력($u$)의 유무, 시간($t$)과 관련되어 있는지에 대한 문제로 다 같은 비선형 시스템이다.

 

'시간과 관련있다' 라고 하는 말은 $\mathbf{X}=\mathbf{A}(t)\mathbf{X}$라는 시스템에서 매개변수(parameter) $\mathbf{A}(t)$와 관련되어있다. 다시말해,

$\mathbf{A}(t)$ 가 시간과 관계 없다. 즉, 시간에 따라 변하지 않는 상수이다. = Autonomous

$\mathbf{A}(t)$ 가 시간에 따라 변한다. 즉, 시간에 영향을 받는다. = Non-autonomous

라고 정리할 수 있다.

흔히 선형에서는 시불변(Linear Time Invariant/LTI), 시변(Linear Time Varying/LTI)라고 하지만 비선형에서는 이를  각각 Autonomous, Non-autonomous라고 정의한다.

 

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Equilibrium state (or equilibrium point)

 

Equilibrium point에 대한 이야기이다.

흔히 '평형점' 이라고 한다.

쉽게 이야기해서 더이상 변하지 않는 지점이라 생각하면 된다.

더이상 변하지 않는 지점이므로 속도의 관점에서보면 속도가 0인 지점이다. 즉 $ \dot{\mathbf{X}}=0$을 만족하는 점이다.

 

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Example 3.1 : The Pendulum

<Fig.1> The pendulum

$$ MR^{2}\ddot{\theta} + b\dot{\theta} + MgR\sin\theta = 0 $$
where $R$ is the pendulum's length, $M$ its mass, $b$ the friction coefficient at the hinge, and $g$ the gravity cnstant.

 

[Linear / Nonlinear] and [Autonomous / Non-autonomous]

이 시스템의 state인 $\theta$와 $\dot{\theta}$가 선형인지 비선형인지를 판별하면 된다.

또한 이 state의 매개변수가 시간과 관련있으면 Non-autonomous, 그렇지 않으면 Autonomous가 된다.

$ MR^{2}\ddot{\theta} $의 경우 $ MR^{2} $은 질량과 펜듈럼의 길이이므로 상수이다. 또한 $ \ddot{\theta}$는 선형이다.

$ b\dot{\theta} $의 경우 $b$는 마찰계수이므로 상수이다. 또한 $ \dot{\theta}$는 선형이다.

$MgR\sin\theta$의 경우 $MgR$은 질량, 중력가속도, 펜듈럼의 길이로 상수이다. 하지만 $\sin\theta$의 경우 비선형이므로 이 시스템은 선형이 존재해도 비선형 term에 의해 Autonomous nonlinear가 된다.

 

[Equilibrium point]

상태 변수로 나타내기 위해 $x_{1} = \theta , x_{2} = \dot{\theta}$라고 정의하면

$\dot{x}_{1} = x_{2} , \dot{x}_{2} = \ddot{\theta}$이고 시스템 모델에 의해 $\dot{x}_{2}$를 구하면 다음과 같다.

$$\begin{align} MR^{2}\dot{x}_{2} &+ bx_{2} + MgR\sin x_{1} = 0 \\ MR^{2}\dot{x}_{2} &= -bx_{2} - MgR\sin x_{1}\\ \dot{x}_{2} &= -\frac{b}{MR^{2}}x_{2} - \frac{MgR}{MR^{2}}\sin x_{1} \end{align}$$

따라서 $\dot{x}_{1} , \dot{x}_{2}$에 대해 다시 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align} \dot{x}_{1} &= x_{2}\\ \dot{x}_{2} &= - \frac{b}{MR^{2}}x_{2} - \frac{g}{R}\sin x_{1} \end{align}$$

평형점은 $\dot{x}_{1} = 0 , \dot{x}_{2} = 0 $을 만족하는 점으로 위 식에 대입하여 구하면

$$\begin{align} \dot{x}_{1} &= 0\\ \therefore x_{2} &= 0 \end{align}$$

$x_{2} = 0$이므로 이를 $\dot{x}_{2}$에 대입하고 $\dot{x}_{2} = 0$이 되는 점을 찾으면

$$\begin{align} \dot{x}_{2} &= 0\\ - \frac{b}{MR^{2}}0 - \frac{g}{R}\sin x_{1} &= 0\\ \therefore  \sin x_{1} &= 0 \end{align}$$

 

구간 $[-\pi \; \pi]$에서 $\sin x_{1} = 0$을 만족하는 $x_{1}$은 $0$밖에 존재하지 않으므로 $(x_{1}, x_{2}) = (0, 0)$이 평형점이 된다.